掛け算の順序の問題、と言ってピンと来る方はいらっしゃいますでしょうか?
「5人の子どもが3個ずつりんごを持っている。りんごは全部で何個あるか。」というような問題に対して、教育指導上、「3×5=15」という計算式は正解と扱う一方、順序を逆にした「5×3=15」という計算式は減点の対象として扱うことの是非についての議論です。

さまざまな方がさまざまな理由で賛成または反対を唱えていますが、今回は、私の偏った視点を紹介させてください。以下、交換法則(A×BとB×Aの計算結果が同じ)が成り立つ数の世界だけで考えます。

まず、最近びっくりしたのですが、Wikipedia(日本語版)には「かけ算の順序問題」というページがあります。非常に参考になり、ここまで込み入った情報を持つWikipediaの力は本当にすごいなと感心するとともに、これを書いた人がどんな人なのか気になるところです(きっと私のように大学で数学を学んだ人でしょうか)。

減点反対派の主張には、例えば、結果の値は同じなので順序を気にする必要はない、解釈の仕方によってどちらの順序での理解もありうる、といったものがあるようです。

一方、減点賛成派の主張には、例えば、掛け算の計算式は「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く方が合理的だ、掛け算の順序に意味を持たせることで問題文の正しい読み取りを促しやすくなる、といったものがあるようです。例えば、「8本の足を持つタコが3匹いる。足の数は全部で何本か」という問題に対しては、3×8=24ではなく8×3=24と書いた方が、私の頭にはスッと入ります。足の数の話と個体の数の話があるのですが、主題(考える舞台)である足の数の話が前に来ることで、理解しやすくなり合理的ということなのだと私は解釈しています。つまり、操作される基準となる数が前で、操作する数が後の方が、計算式を表記として理解しやすいということになります。

さて、操作される数を前、操作する数を後に表記すべきという立場に立つ場合、実は、足し算にも順序がある、ということになります。掛け算と比べるとあまり話題にされておらず、また、Wikipediaにも「足し算の順序問題」というページは存在しないのですが、本来、足し算も一貫して論点にすべきです。

例えば、「みかんが3個ある。さらに、みかんを10個もらうと、全部で何個になるか。」という問題に対しては、順序はあまり気にならないかもしれません。しかし、別の例で、「身長100cmの人がいる。そこから5cm伸びると身長は何cmになるか。」という問題に対しては、5+100=105とすると私はわかりづらさを感じます(減点したい気持ちに駆られます)。100も5も整数で、整数の中では両者は交換可能ですが、モノとしては、100は位置(座標)を表し、5は向きを持った変化量(ベクトル)を表す、という点がポイントです。このように、明らかに違うモノを足すような場合には特に、操作される数を前、操作する数を後と表記した方が、計算式を理解しやすくなるのだと思います。

「操作」と書きましたが、掛け算・足し算については、これは、抽象数学でいう「作用」という概念に当たります。作用されるものと作用するものは明確に区別されますが、(作用するものの中で交換法則が成り立つ場合、)表記の順序はどちらでも良いです。初等教育で順序を気にすることがあるのは、あくまでも、計算式を言語として見て、本人の思考や他者との意思疎通をしやすくするためだろうと思います。

以上のように、操作される数を前、操作する数を後と表記する方が理解しやすい面もありますし、また、抽象的な思考のための軽い訓練として両者を区別するよう教育指導する意義もあると思います。一方、操作される数と操作する数の区別を小学生に意識させることは、小学生に抽象的な数学(作用やベクトル)を教えることにも似ており、実生活で必要な算数の習得でつまずいてしまう要因にもなりかねません。

私は最終的には、どちらかというと減点反対派なのですが、先ほどの身長の例のような、操作される数と操作する数の違いが比較的明確なものについてだけ、順序を指導していくような折衷案はないものなのでしょうか?

数理部/リスク管理部 成川淳